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2003.11.20 13:01

음악과 수학(1) - 음악의 엔트로피

bluejay
(*.186.255.43) 조회 수 7380 댓글 33
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직업상 Data Compression에 많은 관심을 갖다보니 정보이론의 Entropy에 접하게 되었는데 후에 음악에서도 그 이론을 그대로 적용한 연구가 있다는 사실을 알고 무척 흥미롭게 생각되었습니다. 정보이론의 엔트로피 개념은 1948년 당시 Bell Lab.에 근무하던 Claude Shannon이 처음 창안한 것으로서 이후 음악을 포함하여 여러분야에 많은 영향을 끼친 획기적인 이론으로 알려져 있습니다. 이 이론에 의하면 "확률 P인 사건이 갖는 정보의 양은 Log(1/P) 이다" 입니다. (로그의 베이스는 어떤 시스템이냐에 달린 문제이지만 여기서는 컴퓨터에 기준을 두어 2를 베이스로하여 Bit 수로 환산하겠습니다. 이하 Log2로 표시합니다.) 그럼 이게 도대체 무슨 귀신 씨나락 까먹는 소리일까요?

수업시간에 늘 조는 학생이 있다고 합시다. 그넘이 수업시간에 졸 확률이 99%라고하면 그가 오늘도 졸고 있다는 사실은 별로 새삼스러운 일이 아닙니다. 그러나 그가 초롱초롱 깨어있다고하면 이건 뭔가 심상치 않은 일이 됩니다. 그 것을 위의 수식에 대입해보면 "졸고있다"는 사실이 갖는 정보의 양은 Log2(1/0.99) = 0.014(Bit)인 반면에, "깨어있다"는 사실이 갖는 정보의 양은 Log2(1/0.01) = 6.644(Bit)가 됩니다. 확률이 낮은 사건일수록 정보의 양은 많아지는 것이지요. 따라서 "오늘 아침에 해가 동쪽에서 떳다"는 것과 같이 확률 100%인 사건은 아무런 의미가 없습니다. (정보의 양 Log2(1/1) = 0)

여기서 정보의 엔트로피는 모든 가능한 사건의 일어날 확률 X 정보량의 합으로 계산됩니다. 위 예에서 "존다"의 정보량은 0.014이지만 그럴 확률이 99%이기 때문에 0.99 X 0.014 = 0.014 Bit인 값과, "안존다"는 0.01(1%) X 6.644 = 0.066 Bit의 합, 즉 0.014 + 0.066 = 0.081 Bit가 엔트로피가 됩니다. (H1 + H2 = P1*Log2(1/P1) + P2*Log2(1/P2)) 이 것을 수학적으로 표현하면 엔트로피 H = ∑[ Pn X Log(1/Pn) ] 입니다.

만약 졸 확률과 안졸 확률이 반반(50%)이라면 H = H1 + H2 = 0.5*Log2(1/0.5) + 0.5*Log2(1/0.5) = Log2(2) = 1 Bit이 됩니다. 결론적으로 말하자면 어떤 일이 일어날 경우의 수가 많을수록, 그리고 그 확률이 동률로 고르게 퍼져있을수록 (확률적 대등성이 높을수록) 엔트로피는 높아지고, 어느 한쪽에 치우치면 낮아집니다. 다시 말하면 졸지 안졸지 "안봐도 다알아..."라고 말할수 있는 학생은 졸음정보 엔트로피가 낮고 예측하기 힘든 학생은 엔트로피가 높다고 할 수 있습니다.

언어에 있어서도 마찬가지입니다. 사람마다 자주쓰는 특정한 어휘나 표현을 갖고있는데 그 자주 쓰는 정도가 심하면 엔트로피가 낮습니다. 이 엔트로피를 이용하여 미국 독립선언문의 어느부분을 누가 썼는지와 같은 것을 추정하기도 합니다. 그러나 어휘의 수가 너무 많기 때문에 간단하게 알파벳의 각 문자의 사용빈도로 엔트로피를 계산합니다. 이때 엔트로피에는 최대값이 있습니다. 알파벳은 26개이므로 그 확률이 각각 1/26로 동일하다면 (1/26)*Log2(26) + (1/26)*Log2(26) + ... 이렇게 26개를 더하므로 Log2(26) = 4.700 Bit이 넘을수 없는 최대값이 됩니다.

음악에서는 언어의 알파벳 대신에 12개 음정의 사용빈도로 엔트로피를 측정하는데, 동요처럼 반음계(Chromatic Scale)를 잘 쓰지않고 전음계(Diatonic-7음) 위주로만 되어있는 곡은 엔트로피가 낮고, 임시 조바꿈이 많거나 나아가서는 쇤베르크처럼 무조주의로 가는 곡은 엔트로피가 높습니다. 음악의 엔트로피의 최대값은 음정이 12개이므로 위와 같은 방법으로 Log2(12) = 3.585 Bit 입니다. 몇몇 음악가의 곡을 샘플링하여 측정한 연구결과들을 종합해보면 다음과 같은 엔트로피를 얻을수 있습니다.

동요: 2.632 (Bit)
Gregorian Chant: 2.720
Foster: 2.846
Mozart: 3.009
Mendelssohn: 3.030
Hasse: 3.039
Schumann: 3.050
Schubert: 3.127 ~ 3.163
R. Strauss: 3.397
(아쉽게도 쇤베르크는 없군요.)

실제 엔트로피 계산의 한가지 예를 들어보겠습니다. "미레도레 미미미, 레레레, 미미미, 미레도레 미미미, 레레미레도" - "떳다떳다 비행기" 입니다. (이곡은 단 3개의 음만으로 노래를 만들었다는 사실이 참으로 경이롭습니다.) 음의 사용빈도를 보면 도=3, 레=10, 미=12번 입니다. 따라서 엔트로피 H = (3/25)*Log2(25/3) + (10/25)*Log2(25/10) + (12/25)*Log2(25/12) = 1.404 Bit 입니다. 첨부된 Excel File의 노란색 Cell에 각 음의 빈도를 넣으면 엔트로피를 계산하게 되어있습니다. 아무 할일도 없고 심심할때 해 보십시오.

음악의 엔트로피가 어떤 음악성을 나타내는 지표는 절대로 아닙니다. 음을 마구 뒤섞어 놓는다해도 그 빈도만 같으면 엔트로피는 같은 값을 나타내게 되니까요. 동요나 그레고리 성가, 포스터의 단순한 멜로디도 얼마든지 아름다운 곡이 많습니다. 음악의 엔트로피는 다만 그 곡의 변화도, 다양성, 내지는 복잡성 또는 난해도 정도를 가름해 볼수있는 지표가 될수는 있을 것입니다. 그리고 어느 음악가의 특징을 대강 짐작케하는 정도로 보아야할 것입니다.


사족 - 도대체 Entropy란 무엇인가?

저도 잘 모르겠습니다...

열역학에서는 일(Work=Energy)로 변환되지는 않았지만 내부에 잠재한 에너지를 말합니다. 천체물리학에서는 우주의 모든부분이 같은 온도로 되려는 경향을 말합니다. 또, 사회학에서는 '무질서도'로 불리기도 합니다. 어쩌면 우주 모든현상의 (불)균등한 정도를 나타내는 척도이거나, 또는 불균등한(혼돈) 상태로부터 균등한(질서) 상태로 가려는 경향(Momentum)인지도 모르겠습니다.

그런 막연한 생각으로 음악을 다시 생각해보면 음악의 엔트로피는 음정에만 해당되는 것이 아니고 화음의 해석에도 잘 적용되지 않을까 싶습니다. 당김화음, 불협화음은 엔트로피가 높고 협화음, 으뜸화음은 엔트로피가 낮은 화음으로 그 진행에 어떤 방향성을 주는 모멘텀으로서 말입니다. 또는 리듬에도 엔트로피가 없으리란 법이 없습니다. 단지 그러한 것들을 어떻게 정량화 할 것인지가 어려운 문제일 뿐이 아닐까요?

Atachment
첨부파일 '1'
Me2day Yozm
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Comment '33'
  • pepe 2003.11.20 13:28 (*.204.4.243)
    제레미 리프킨의 '엔트로피'라는 책이 재미있어 2번 읽었던 기억이 납니다. 그 저자의 뜻에 따르자면.... '엔트로피 = 쓰레기'라고 할까요?
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  • pepe 2003.11.20 13:31 (*.204.4.243)
    인간 자체가 엔트로피 증가를 가속화하는 주된 원인이죠. 에너지 효율이 100%이고, 에너지가 보존된다면 모르겠지만, 불가능 하겠죠. 뉴턴 할아버지 한테도 혼나겠죠???... ㅋㅋㅋ
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  • iBach 2003.11.20 14:07 (*.100.46.248)
    너무 재밌네요. 으.. 컴터에 엑셀이 없어서 해보진 못하겠지만 바하의 푸가의 기법 주선율을 한번 넣어보면 어떨까요? 아마 꽤 높게 나올거 같은데..... 와 흥미롭다
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  • iBach 2003.11.20 14:11 (*.100.46.248)
    선율에 국한하지 말고 말씀대로 화음에도 적용해보면 바하음악의 엔트로피도 꽤 높게 나오지 않을까요?? 치밀한 대위법때문에 더 떨어질라나??
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  • iBach 2003.11.20 14:13 (*.100.46.248)
    블루제이님 예가 아주 적절하고 이해하기 쉽네요. 논문하나 쓰시죠?? ㅎㅎ '음악의 열역학적 고찰' :)
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  • iBach 2003.11.20 14:16 (*.100.46.248)
    선율, 화음, 리듬을 각각 한 축으로 해서 삼차원으로 나타내면 곡마다의 특성을 살펴볼수 있을꺼 같다는 생각도 얼핏 드네요.
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  • gmland 2003.11.20 16:41 (*.231.79.49)
    음(악)학의 새 장르를 여는 기분입니다. 대단한 발상과 응용입니다. 음악은 예술로만 인식 되어, 역설적으로 발전이 더디었습니다. 음악의 학문적/과학적 측면도 예술성과 함께 발전해야
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  • gmland 2003.11.20 16:45 (*.231.79.49)
    할 것입니다. bluejay님은 대단 하시네요. Bach 음악도 한번 분석해 보시지요. 내 생각엔 entropy가 높게 나오지 않을 것 같네요. 7음 전음계라 하셨는데
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  • gmland 2003.11.20 17:11 (*.231.79.49)
    diatonic 온음계라 해야 맞고, 전음계는 wholetone 이라 합니다. 6음계로서 반음정이 없는 음계를 말하지요. 사실은 옛 선배들이 번역을 잘못한 겁니다만...
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  • 수 2003.11.20 19:05 (*.80.24.11)
    와..디게 잼따....
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  • 아스 2003.11.21 01:26 (*.131.168.234)
    엔트로피는 spacial range & time slice 에서 계산하는 것입니다.
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  • 아스 2003.11.21 01:28 (*.131.168.234)
    새넌의 발표이후 이루 말할 수 없는 분야, 특히 심리학을 정보이론으로 재기술하려는 노력이 있었으나 ...
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  • 아스 2003.11.21 01:29 (*.131.168.234)
    무리한 발상으로 아직까지 특별한 진전이 없습니다. 음악에서의 정보이론도 비슷한 상황입니다.
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  • 아스 2003.11.21 01:31 (*.131.168.234)
    한때 양자역학, 상대성이론이 여러 분야를 무리하게 휘어잡고 풍미하였듯이 정보이론도 그런 감이 있습니다.
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  • 아스 2003.11.21 02:19 (*.183.203.235)
    엔트로피와 정보이론, 그리고 디지털통신이론, 압축 응용에 대한 소개는 기회가 닿는대로 써볼까 합니다.
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  • bluejay 2003.11.21 02:41 (*.186.255.43)
    엔트로피라는 놈은 각 분야별로보면 이해할것 같기도하다가 그것을 모두꿰는 개념은 생각할수록 헷갈리고 어렵더군요.
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  • 아스 2003.11.21 02:45 (*.183.203.235)
    음... 사실 엔트로피는 백년이 훨씬 넘게 다음어진 물리학에서 가장 엄밀하게 정의된 개념의 하나입니다.
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  • bluejay 2003.11.21 02:46 (*.186.255.43)
    아스님은 역시 이분야에 대하여도 잘아시고 계시니 좋은글을 고대하겠습니다.
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  • 아스 2003.11.21 02:47 (*.183.203.235)
    위의 생각은 새넌의 디지털통신이론의 관점에서는 그렇게 생각할 수 있으나, 물리학적인 엄밀한 엔트로피의 개념과는 거리가 있습니다.
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  • 아스 2003.11.21 02:50 (*.183.203.235)
    예를 들어 하이전버그의 행렬역학으로 시뢰딩어 파동방정식을 완벽하게 기술할 수 있듯이, 새넌의 정보이론으로 엔트로피이론을 완벽하게 기술하 수 있습니다.
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  • 아스 2003.11.21 02:54 (*.183.203.235)
    그런데 문제는 정보이론은 엔트로피보다 훨씬 넓은 개념입니다. 이런 과도 확장된 엔트로피(?) 개념으로 인해 여러 응용분야에서 엔트로피에 대한 무리한 해석으로 이어지는 것이 문제지요
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  • bluejay 2003.11.21 03:09 (*.186.255.43)
    아스님, 감사합니다. 기회가되신다면 좀더 자세한 글을 부탁드리고 싶군요.
    수정 삭제 댓글
  • 혁 2003.11.21 07:48 (*.168.105.40)
    진짜 잼있게 읽었습니다...^^ ..신기하다~~~^^
    수정 삭제 댓글
  • 서정실 2003.11.21 10:27 (*.238.126.6)
    대학때 물리화학교수님이(맞나? 열역학교수님이셨나...) "엔트로피는 알면 알수록 엔트로피가 높아지는 것이다" 라는 말씀을 하신 적이.. ^^;;
    수정 삭제 댓글
  • 새로운 2003.11.22 13:02 (*.240.199.69)
    깨달음의 좋은 계기를 준 훌륭한 글입니다. 우리말 음악용어가 그 뜻에 대한 확정적 의미 전달에 실패하는 경우는 비일비재한데
    수정 삭제 댓글
  • 이 경우도 2003.11.22 13:04 (*.240.199.69)
    그런 예 중의 하나입니다. 어쨋든 지금 통용되는 용어로는 불루제이님이 맞습니다.
    수정 삭제 댓글
  • 온음계((全音階)는 2003.11.22 13:11 (*.240.199.69)
    diatonic scale을, 온음음계(全音音階)는 whole-tone scale로 구분되어 통용되니다. 양자간의 의미가 어떤 차이인지는 좀 헷갈리지만요.
    수정 삭제 댓글
  • 아마 2003.11.22 13:12 (*.240.199.69)
    지엠랜드님도 약간의 혼동이 있으셨던 것 같습니다.
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  • gmland 2003.11.23 03:21 (*.91.56.22)
    음악사전에는 whole-tone scale을 온음음계/전음음계로 소개하고 있으나, 학자를 포함한 많은 사람들이 whole-tone scale을 전음계로 통용하고 있는데, 근본적으로
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  • gmland 2003.11.23 03:23 (*.91.56.22)
    diatonic scale을 온음계/전음계로 변역한 자체가 잘못된 것이라 봅니다. 이래 놓고보니 whole-tone scale을 온음음계/전음음계로 번역할 수밖에 없게 된 거지요.
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  • gmland 2003.11.23 03:25 (*.91.56.22)
    그러나 온음계나 온음음계나 뭐가 다른지, 전음계나 전음음계는 뭐가 다른지, 말장난밖에는 안 되는 것 같습니다. 차라리 diatonic scale은 전음계로, whole-tone은
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  • gmland 2003.11.23 03:28 (*.91.56.22)
    온음계로 번역했더라면 보다 명료했을 겁니다. 어쨋든 음악사전에도 불구하고, 학자들의 책도 서로 제각기 표현하고 있으며, 음악사전 마저도 남의 나라 것을 오래 전에 번역한 것이라
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  • gmland 2003.11.23 03:29 (*.91.56.22)
    틀린 곳도 많고 신뢰감도 가지 않습니다. 그러나 실용 음악계에서는 whole-tone scale은 전음계로 통용됩니다.
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