장화음과 단화음의 비밀

제목만 거창하지만 그냥 심심풀이로 읽어보시기 바랍니다.

우리는 주파수가 간단한 정수비인 음끼리 잘 어울린다는 사실은 익히 들어 왔습니다. 가장 간단한 정수비인 1:2는 옥타브 차이이고, 2:3은 완전5도, 3:4는 장3도, 5:6은 단3도의 주파수 비가 됩니다. 이렇게 3화음을 이루는 4:5:6의 주파수 비를 쌓아올리면 서양7음계의 순정조를 구성하는데 이에 관하여는 이전에도 글이 있었으므로 생략하겠습니다.

그런데 항상 의구심을 품게한 것은 장3화음의 주파수 비는 4:5:6인데 반하여 단3화음의 주파수 비는 10:12:15로서 결코 간단한 주파수 비가 아님에도 불구하고 아름다운 화음이 된다는 것이었습니다.

사실 저는 어렸을 적부터 도-미-솔의 화음에서 중간의 '미'음이 약간 바뀜으로써(도-미b-솔) 그렇게 느낌이 완전히 달라진다는 사실을 늘 신기하게 생각해 왔습니다. 그 후로 오랜 세월이 지났지만 마음 한구석에 늘 그 비밀을 풀어보고 싶은 마음이 떠나지 않다가 드디어 얼마 전 잠시 시간이 난 틈에 한번 그 문제를 풀어보기로 작심하고 종이와 연필을 들고 책상에 앉았습니다. 단화음의 아름다움은 주파수의 간단한 정수비 원칙과 어긋나는 것일까요? 저는 화음의 파장을 계산해보다가 문득 답은 아주 간단한 데에 있다는 사실을 깨달았습니다.

그것은 바로 4:5:6과 10:12:15는 역수관계라는 사실입니다. 즉, 1/6:1/5:1/4=10:12:15, 1/15:1/12:1/10=4:5:6인 것입니다. 다시 말하면 주파수가 4:5:6인 음들의 파장은 10:12:15의 비율이고 주파수가 10:12:15의 비이면 파장의 비는 4:5:6이 됩니다. (주파수와 파장은 역수관계이니까요.)

음의 협화관계는 그렇게 간단한 것이 아닙니다. 두개의 음이 간섭하여 일어나는 물리적 현상과 심리적 반응에 대하여 논하자면 길고도 어려운 이야기가 될 것입니다. 예를 들자면 두개의 음의 물리적 간섭현상에는 맥놀이만 있는 것이 아닙니다. 하물며 3개의 음이 되면 더 복잡해지겠지요. 그래서 잘 알지도 못하는 문제는 피하고 제가 생각할 수 있는 간단한 것만 생각해 보았습니다.

[배음구조 - Harmonic Contents]

음악에 쓰이는 음(악음)에는 한가지 주파수로만 된 음(Pure Tone)을 사용하지 않는다고 합니다. (Pure Tone의 대표적인 예는 Tuning Folk에서 울리는 소리입니다.) 이는 Pure Tone은 매우 무미건조한 소리이기 때문입니다. 악기에서 울리는 소리는 모두 정도의 차이는 있지만 많은 배음을 동반합니다. 이것이 악기의 소리를 아름답게, 그리고 개성있게 만드는 음색을 결정합니다. 따라서 음의 협화성은 그 배음의 조합관계를 떠나서 생각할 수 없을 것입니다.

우선 한개의 음을 생각해 봅시다. 그 음에는 주 주파수가 있지만 거기에 동반한 배음이 정수비의 관계를 가지면 그 음의 높이(Pitch)를 느낄수 있습니다.(Voiced) 예를 들면 440Hz의 주 주파수에 배음이 880(2배), 1320(3배), 1760(4배)…Hz이면 우리는 그 음이 A4음이라고 느낍니다. Pitch는 나사의 산과 산의 거리를 가리키기도 합니다. 말하자면 음의 배음과 배음간의 거리인 피치는 440Hz로 일정합니다. 이렇게 일정한 피치는 인간의 청각과 밀접한 관계를 갖고 있습니다. 그러나 거의 모든 타악기는 그 배음이 정수비가 아닌 불규칙하고 뒤죽박죽인 구조이므로 음높이를 말할수 없게 됩니다. (Unvoiced)

인간음성의 자음은 피치가 일정하지않은, 음높이가 없는(Unvoiced) 소리이고 모음은 피치가 일정한(음높이가 있는, Voiced) 소리입니다. 이는 노래를 불러보면 쉽게 알수 있습니다. 그러나 우리말은 그 특성상 얼른 느끼기 힘들고(1글자=1음절) 서양언어는 금방 알수 있습니다. 예를들어 도-미-솔에 'Scale'의 가사를 붙여 노래를 해보면, 우리말로는 '스-케-일'이라고 할수 있지만 서양언어로 하자면 '스케-에-일'이라고 불러야 합니다. 이는 모음이 없이는 음높이를 낼수가 없기 때문입니다. (우리말은 '스'에 모음이 들어가 있지만 영어 Scale의 첫음절 'S'에는 모음이 없습니다.) 혹시 이해가 잘 안가시면 서양말로된 노래가사를 주의깊게 보십시오.

그럼 이러한 피치가 일정한 음과 음이 어울릴때 그 배음구조의 관계는 어떻게 될까요? 가장 잘 어울리는 소리인 한 옥타브(1:2) 차이의 음을 생각해보면, (f1=100Hz, f2=200Hz)
f1의 배음: 100,200,300,400,500,600,700,800…Hz
f2의 배음: 200,400,600,800…Hz
여기서 f2의 배음은 f1의 배음 스펙트럼에 완전히 중첩됨을 알수 있습니다. 우리는 이러한 음을 높이는 다르지만 '같은'음이라고 느낍니다. (그렇다면 1:3은? 1:3을 옥타브로한 외계인의 음악이 있을수도???!!!)

그러나 우리는 이런 음을 '화음'이라고 하지는 않습니다. 우리가 말하는 화음이란 그 배음이 완전히 중첩되지 않으면서도 합성 스펙트럼이 앞서 언급한 Voiced음처럼 어떤 일정한 규칙을 가질때 '협화' 한다고 느끼고, 불규칙하면 '불협화' 라고 느끼는게 아닐까 생각해 봅니다.

위 그림은 장3화음(4:5:6)인 100Hz(Red), 125Hz(Green), 150Hz(Blue)와 단3화음(10:12:15)인 100Hz(Red), 120Hz(Green), 150Hz(Blue)의 배음 스펙트럼과 파장 관계를 표시한 것입니다. 두 화음의 차이는 중간음이 각각 120Hz와 125Hz로 5Hz의 차이만 있을 뿐입니다. (1A)는 장3화음, (1B)는 단3화음의 배음 스펙트럼 관계를 그린 것으로서, 각음의 배음을 Red/Green/Blue선으로 그린 것입니다. 바탕에 회색선이 깔린 것은 2개, 혹은 3개의 배음이 중첩된 곳을 표시합니다.

그러나 이 그림은 보기가 어려워 배음을 쌓아올려 다시 그린 것이 (2A)와 (2B)입니다. 이 합성 스펙트럼의 배음구조만 가지고 감히 어떻다고 논할수는 없지만, 그냥, 보기에, 장화음은 스펙트럼에 배음이 상대적으로 고르게 퍼지고 꽉찬 것같은 느낌이고, 단화음은 규칙적인 반복성이 높아 보입니다. 이러한 스펙트럼 구조가 장/단화음의 밝고/어둡고, 화려하고/소박하고, 쾌활하고/슬픈 느낌의 차이와 어떤 연관관계를 갖는지는 제가 논할수있는 범위를 벗어납니다.

[합성음파의 주기]

그림 (3A) 와 (3B)는 장/단화음 음파의 합성관계를 나타냅니다. 장화음은 100Hz음의 4파장, 125Hz의 5파장, 150Hz의 6파장이 주기적으로 맞아 합성음파는 25Hz(기저음 주파수의 1/4)의 주기를 갖는 음파가 됩니다. 반면에 단화음은 100Hz의 10파장, 120Hz의 12파장, 150Hz의 15파장의 주기가 맞으므로 10Hz(기저음 주파수의 1/10) 주기의 합성음파를 만듭니다.

이를 피아노로 실험해 보십시오. C5+E5+G5 (C4=가온다)를 치고 2옥타브 아래인 (1/4주파수) C3를 쳐보면 3화음의 어우러진 음과 같은 높이라는 느낌이 드는지를. 또 C5+Eb5+G5의 단화음을 울리고 -3옥타브-장3도인(1/10 주파수 = 1/8 X 4/5 = -3옥타브 -장3도) Ab1을 쳐보면 과연 같은 높이처럼 느껴질까요? 제 대답은 '그렇다' 이지만 여러분이 직접 해보시기 바랍니다. 만약 모든분이 그렇게 느끼신다면, A2(110Hz)+C3+E3의 단화음이 어우러질때 우리는 인간청각의 한계라고하는 16Hz를 뛰어넘어 11Hz의 장중한 음을 우리의 귀로, 물리적으로, 분명하게 듣는 것입니다.

[숫자놀음]

앞에 언급한 4:5:6과 10:12:15의 역수관계는 스펙트럼과 합성파장에 어떤 의미가 있을까요?

장3화음의 주파수비 4:5:6의 최소 공배수는 60입니다.
따라서 합성 스펙트럼에는 4의 15배음, 5의 12배음, 6의 10배음에 가서야 3음의 배음이 일치합니다. 다시 말하면 고배음에 가도록까지 3음의 배음이 중첩되지 않고 서로 엇갈린다는 이야기입니다.

단3화음의 주파수비 10:12:15의 최소 공배수도 60입니다.
따라서 합성 스펙트럼에는 10의 6배음, 12의 5배음, 15의 4배음마다 3음의 배음이 일치합니다. 다시 말하면 3음의 배음이 규칙적으로 중첩되며 반복됩니다.

순정조에서의 각화음의 주파수 비는 다음과 같습니다. 여기서 T1:기준음, T3:3도음, T5:5도음, T7:7도음을 나타내며 장3도 간격은 '='로, 단3도 간격은 '-'로 표시했습니다.

T1=T3-T5 (4:5:6) Major 5th Triads (장3화음)
T1=T3=T5 (16:20:25) Augmented 5th Triads (증3화음)
T1-T3=T5 (10:12:15) Minor 5th Triads (단3화음)
T1-T3-T5 (25:30:36) Diminished 5th Triads (감3화음)

* 추가하는 김에 4/6화음과 3/6화음도 계산해 보았습니다.('+':완전4도,3:4, '#':증4도) 그런데 명칭이 맞는건지는...
T1+T4=T6 (3:4:5) Major 4th/6th Triads
T1-T3+T6 (5:6:8) Major 3rd/6th Triads
(증3화음은 방랑화음이므로 4/6, 3/6화음의 의미가 없습니다.)
T1+T4-T6 (15:20:24) minor 4th/6th Triads
T1=T3+T6 (12:15:20) minor 3rd/6th Triads
T1#T4-T6 (18:25:30) Diminished 4th/6th Triads
T1-T3#T6 (15:18:25) Diminished 3rd/6th Triads
(#: 증4도는 여기서는 18:25로 나타나지만 순정조에는 없는 비율)

* 7화음은 이름을 잘 모릅니다. (gmland님, 화음이름에 관한 글좀 다시 올려 주셔요…) *이름 추가*
T1=T3-T5=T7 (8:10:12:15) Major 3rd, Major 7th Chord (장7화음)
T1=T3-T5-T7 (20:25:30:36) Major 3rd, Minor 7th Chord (단7화음)
T1-T3=T5=T7 (40:48:60:75) Minor 3rd, Major 7th Chord (단장7화음)
T1-T3=T5-T7 (10:12:15:18) Minor 3rd, Minor 7th Chord (단단7화음)
T1-T3-T5-T7 (125:150:180:216) Minor 3rd, Diminished 5th, Diminished 7th Chord (감7화음)
T1-T3-T5=T7 (25:30:36:45) Minor 3rd, Diminished 5th, Minor 7th Chord (반감7화음) *추가*
T1=T3=T5-T7 (16:20:25:30) Major 3rd, Augmented 5th, Major 7th Chord (증장7화음) *추가*