2004.02.17 17:17
음악과 수학(2) – 피타고라스 음계와 선법
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[Disclaimer]
여기에 쓰는 글의 내용은 책에서 읽은 것도 있지만 잘못 이해하고 있을 수도 있으며, 그외 많은 부분은 인터넷에서 얻은 신빙성을 입증할 수 없는 이론이나 귀동냥으로 줏어들은 단편적인 지식, 개인적인 추론및 짐작으로 쓴 사견이 모두 뒤섞인 것이므로 그 내용의 신뢰성에 대하여는 읽으시는 칭구분들의 판단에 맡기는 바입니다. (이럴때 아마추어라는게 참 편리합니다. 단지 아마추어라는 핑계로 책임을 피할수 있으니까요. ^^)
지난번의 엔트로피에 이어 피타고라스 음계와 선법, 순정조와 평균률, 피보나치 수열과 황금율, 프랙탈, 카오스, 노이즈(White/Brown/Pink), 1/f이론... 음악과 관련된 수학의 이런 이야기들을 풀어나가 보려고 하는데 앞으로도 위의 Disclaimer는 계속 유효합니다. 이 글의 목적은 이러한 수학이론을 설명하려는 것이 아니라 그 이론들이 음악에 어떻게 적용되는가 하는 것이 주된 관점입니다. 이들 이론에 관한 것은 저의 어줍잖은 수박 겉핥기 상식보다 좋은 책과 자료가 얼마든지 많이 있습니다.
[음의 어울림]
화음에 관한 이야기때마다 나오는 것이지만, 음의 어울림의 기본원리는 주파수의 간단한 정수비에 있습니다. 1:2는 한 옥타브 차이로서 너무 완벽하게 어울리기에 우리는 그런 음을 '같은 음정'이라고 간주합니다. 그 다음으로 간단한 비는 2:3 으로서 우리가 완전5도 음정이라고 부르는 것입니다.
일설에 의하면 피타고라스가 대장간의 망치소리(두사람이 무게가 다른 망치로 번갈아 치는)를 듣고 음의 어울림에 착안하여 음계를 만들었다는 썰이 있지만 신빙성이 의심스럽고, 고대의 그림으로 전해지는 바와 같이 현의 길이로 연구했을것 같은데 그 시대에는 주파수같은 개념은 없이 아마도 현의 길이에만 초점이 모아지지 않았나 생각됩니다. 어디선가 본 기억으로 중국에서도 2진3분법(?)인가 하는, 즉, 현의 길이를 2배 늘렸다가 3등분 한다는 원리가 있다는데 이것 역시 주파수비 2:3을 의미하는 것입니다.
피타고라스 음계는 바로 현 길이 또는 주파수의 2:3 비율에 기초하여 만들어 집니다. 우선 결론적으로 피타고라스 음계가 어떻게 구성되는 지를 먼저 알아보겠습니다.
(주: 여기서 음의 표기는 C를 예로들면,
. . . CCC, CC, C, c, c', c'', c''', . . .
로 표기하겠습니다. 이는 가온다를 c로하여 한 옥타브씩 올라가는 C를 나타냅니다.)
[피타고라스 음계]
c를 1로보고 먼저 주파수가 2/3(완전5도) 낮은 음이 F가 됩니다. 다시 c로부터 3/2 올리면 g, 거기서 또 3/2 올리면 d'(d의 한옥타브 위),... 이런 식으로 계속 쌓아 올리면 다음과 같이 됩니다.
F = 2/3
c = 1
g = 3/2
d' = 9/4
a' = 27/8
e'' = 81/16
b'' = 243/32
이 음들은 4 옥타브에 걸쳐있으므로 2를 곱하거나(1 옥타브 위로), 2 또는 4로 나누어(1 또는 2 옥타브 아래로) 1과 2 사이(한 옥타브 안)에 들어가게 다시 배열하면;
c = 1
d = 9/8 = 1.125
e = 81/64 = 1.266
f = 4/3 = 1.333
g = 3/2 = 1.5
a = 27/16 = 1.688
b = 243/128 = 1.898
c' = 2
이렇게하여 피타고라스 음계가 구성됩니다. 그런데 여기서 c'는 단순히 c를 한 옥타브 올려 2로한 것으로 3/2로 쌓아올려 도달한 것이 아닙니다. 몇 옥타브 위가 됐건 간에 처음 시작한 음정에 도달하려면 3/2비로 12번 올려 2^n(2의 n제곱)과 같아져야 하지만 이것이 정확한 제 음정에 일치하지 않습니다. 즉, (3/2)^12 = 531441/4096 = 129.746으로 c'''''''(7 옥타브 위의 c)인 2^7 = 128과는 오차가 있는데 이를 피타고라스의 코머라고 합니다. (3^12 / 2^19 = 531441 / 524288 = 1.013643265)
이러한 오차를 보정하려는 노력으로 오랜 역사에 걸쳐 여러가지 시도가 있었지만 결국은 평균율로 그 최종 결론이 도달하여 더 이상의 진화가 있을 것 같지는 않습니다. 이에 관하여는 다음에 평균율에서 다시 언급하겠습니다.
[Pentatonic]
한가지 주목할 점은 2:3의 진행이 B에서 중단되었다는 사실입니다. 계속 진행한다면 F#, C#, ...이 나왔을텐데 말입니다. 그러나 당시엔 반음계같은 것이 존재하지 않았다기 보다는 인정되지 않았다고 하는편이 더 맞을지 모르겠습니다.
사실 근접한 두 음은 심한 불협화음을 만듭니다. 혹시 '반음껭판'이라는 것을 아시나요? 친구가 연주할때 옆에서 같은 곡을 반음 틀리게 연주해보세요. 정말 못들어 줍니다. (단, 즉시 도망갈 준비를 갖추어야합니다. 안그러면 아포얀도로 한대 맞을수 있습니다. ^^) 그래서 F와 G사이에 너무 근접한 F#에서 2:3 진행을 중단했는 지도 모릅니다.
5음계도 이러한 음의 근접성에 기인한것이 아닌가 싶습니다. 두개의 음이 반음 간격으로 근접하는 것을 아예 인정하지 않는다면 E에 근접한 F와 C에 근접한 B가 인정받지 못하고 없어지게 됩니다. 반면에 E-F가 근접하기는 하지만 F-G간격은 온음이고 F 없이는 E-G간격이 너무 넓어 F와 B(같은 이유로)를 받아들이면 7음계가 됩니다. 이것이 바로 C-D-E-G-A의 5음계의 근거라고 생각하는 것은 저의 사견일 뿐입니다.
[선법(Mode)]
위의 2:3 진행을 보면 또 한가지 의문이 생깁니다. 7음계는 결국 2:3 비율로 음을 7개 쌓아올려 만든 것인데(F-C-G-D-A-E-B) 왜 하필이면 두번째 음을 기준음 C로 했을까 하는 것입니다. 그러나 고대 그리스에서 이 기준음이 각각 다르게 설정되어 사용되었으니 그것이 선법입니다.
이오니아 선법 (Lydian) : C-D-E-F-G-A-B-c (제2음 기준, 장조에 해당됨)
도리아 선법 (Phrygian) : D-E-F-G-A-B-c-d (제4음 기준)
프리기아 선법 (Doric) : E-F-G-A-B-c-d-e (제6음 기준)
리디아 선법 (Syntonolydian) : F-G-A-B-c-d-e-f (제1음 기준)
믹소리디아 선법 (Ionic) : G-A-B-c-d-e-f-g (제3음 기준)
에올리아 선법 (Eolic) : A-B-c-d-e-f-g-a (제5음 기준, 단조에 해당됨)
(Mixolydian) : B-c-d-e-f-g-a-b (제7음 기준)
그런데 왜 한글과 영문표기가 틀리냐구요? 한글표기는 Glarean의 Dodecachordon(1547년)에서 쓴 교회음악의 선법이름입니다만 이것은 그가 그리스 이름을 좀 헷갈려 잘못 쓴 것이라는데, 음악에서는 이 선법이름이 통용된다하고 괄호안의 영문표기가 실제 그리스 이름이라고 합니다.
Pentatonic에서도 마찬가지로 선법이 존재합니다. 선법이름은 따로 없는 것 같습니다.
C-D-E-G-A-c (예: Scotch air - major)
G-A-c-d-e-g (예: 한국국악?, 중국음악)
D-E-G-A-c-d (예: Gaelic or old bagpipe tune)
A-c-d-e-g-a (예: Scotch air - minor)
E-G-A-c-d-e
[Lyre의 조율과 선법]
지금까지는 숫자로 음계와 선법을 설명하였습니다만 개인적인 생각으로는 리라의 조율로 선법을 설명하는 것이 더 현실적이 아닐까 생각합니다. 리라의 현의 숫자는 계속 변하였지만 그리스 전성기의 대표적인 형태는 Tetratonic(4음계) 두개를 붙인 8현이라 합니다. 그 현을 저음부터 1~4, 5~8번이라 하겠습니다.
우선 1번을 c, 8번을 한 옥타브 위인 c'로 조율하여 이를 으뜸음(Tonic)으로 합니다. 다음에 1번(c)에서 2:3으로 5번을 g에 조율하여 Dominant(딸림)음으로하고, 4번은 8번(c')로부터 3:2로 내려 f로 조율하면 Sub-Dominant(버금딸림)음이 됩니다. 그러면 이제 1(c) - 4(f), 5(g) - 8(c')의 두 Tetratonic음계의 기준이 섰습니다. 남은 것은 그 중간의 2,3현과 6,7현을 어떻게 조율하는가 입니다. (음정을 말할때 왜 1,4,5,8도는 완전음정, 2,3,6,7도는 장/단음정이라 하는지 감이 잡힙니다.) 이때 조율의 기본 원칙은 2:3(완전5도), 그 것이 옥타브를 벗어나면 2:3을 한 옥타브 꺾어내린 3:4(완전4도) 간격으로 조율하는 것입니다. 이 비율은 바이올린족 악기의 조율처럼 귀로들어 쉽게 조율할 수 있습니다.
아마 리디아에서는 5(G) → 2(D) → 6(A) → 3(E) → 7(B)의 순서로 오름차순 조율하여 후일 이오니아 선법으로 알려진 음계가 되고 도리아에서는 4(F) → 7(Bb) → 3(Eb) → 6(Ab) → 2(Db)으로 내림차순 조율하여 프리기아 선법으로, 다른 지방에서는 이 두가지의 중간형태로 조율하여 각기 다른 선법이 된 것이 아닐까 생각합니다. 이를 알기 쉽게 온음 간격은 =로, 반음 간격은 –로 표시하여 다시 정리하면 아래와 같이 됩니다. (프렛b때문에 모든 음을 대문자로 표기합니다.)
조율순서 : 리라현의 음정 (실제 그리스 이름)
C→G→D→A→E→B→F# / C' : C=D=E=F#, G=A=B–C' (Syntonolydian)
C→G→D→A→E→B / F←C' : C=D=E–F, G=A=B–C' (Lydian)
C→G→D→A→E / Bb←F←C' : C=D=E–F, G=A–Bb=C' (Ionic)
C→G→D→A / Eb←Bb←F←C' : C=D–Eb=F, G=A–Bb=C' (Phrygian)
C→G→D / Ab←Eb←Bb←F←C' : C=D–Eb=F, G–Ab=Bb=C' (Eolic)
C→G / Db←Ab←Eb←Bb←F←C' : C–Db=Eb=F, G-Ab=Bb=C' (Doric)
C / Gb←Db←Ab←Eb←Bb←F←C' : C–Db=Eb=F, Gb=Ab=Bb=C' (Mixolydian)
이중 Syntonolydian과 Mixolydian은 Dominant, Sub-Dominant까지 묵살하고 조율하여 나갔기에 그 불협화성으로 인하여 도태되고 나머지 5개의 선법이 주로 쓰였을 것으로 짐작합니다. 결국 5음계의 도,레,미,솔,라 선법이 남게 되었나봅니다.
여기에 쓰는 글의 내용은 책에서 읽은 것도 있지만 잘못 이해하고 있을 수도 있으며, 그외 많은 부분은 인터넷에서 얻은 신빙성을 입증할 수 없는 이론이나 귀동냥으로 줏어들은 단편적인 지식, 개인적인 추론및 짐작으로 쓴 사견이 모두 뒤섞인 것이므로 그 내용의 신뢰성에 대하여는 읽으시는 칭구분들의 판단에 맡기는 바입니다. (이럴때 아마추어라는게 참 편리합니다. 단지 아마추어라는 핑계로 책임을 피할수 있으니까요. ^^)
지난번의 엔트로피에 이어 피타고라스 음계와 선법, 순정조와 평균률, 피보나치 수열과 황금율, 프랙탈, 카오스, 노이즈(White/Brown/Pink), 1/f이론... 음악과 관련된 수학의 이런 이야기들을 풀어나가 보려고 하는데 앞으로도 위의 Disclaimer는 계속 유효합니다. 이 글의 목적은 이러한 수학이론을 설명하려는 것이 아니라 그 이론들이 음악에 어떻게 적용되는가 하는 것이 주된 관점입니다. 이들 이론에 관한 것은 저의 어줍잖은 수박 겉핥기 상식보다 좋은 책과 자료가 얼마든지 많이 있습니다.
[음의 어울림]
화음에 관한 이야기때마다 나오는 것이지만, 음의 어울림의 기본원리는 주파수의 간단한 정수비에 있습니다. 1:2는 한 옥타브 차이로서 너무 완벽하게 어울리기에 우리는 그런 음을 '같은 음정'이라고 간주합니다. 그 다음으로 간단한 비는 2:3 으로서 우리가 완전5도 음정이라고 부르는 것입니다.
일설에 의하면 피타고라스가 대장간의 망치소리(두사람이 무게가 다른 망치로 번갈아 치는)를 듣고 음의 어울림에 착안하여 음계를 만들었다는 썰이 있지만 신빙성이 의심스럽고, 고대의 그림으로 전해지는 바와 같이 현의 길이로 연구했을것 같은데 그 시대에는 주파수같은 개념은 없이 아마도 현의 길이에만 초점이 모아지지 않았나 생각됩니다. 어디선가 본 기억으로 중국에서도 2진3분법(?)인가 하는, 즉, 현의 길이를 2배 늘렸다가 3등분 한다는 원리가 있다는데 이것 역시 주파수비 2:3을 의미하는 것입니다.
피타고라스 음계는 바로 현 길이 또는 주파수의 2:3 비율에 기초하여 만들어 집니다. 우선 결론적으로 피타고라스 음계가 어떻게 구성되는 지를 먼저 알아보겠습니다.
(주: 여기서 음의 표기는 C를 예로들면,
. . . CCC, CC, C, c, c', c'', c''', . . .
로 표기하겠습니다. 이는 가온다를 c로하여 한 옥타브씩 올라가는 C를 나타냅니다.)
[피타고라스 음계]
c를 1로보고 먼저 주파수가 2/3(완전5도) 낮은 음이 F가 됩니다. 다시 c로부터 3/2 올리면 g, 거기서 또 3/2 올리면 d'(d의 한옥타브 위),... 이런 식으로 계속 쌓아 올리면 다음과 같이 됩니다.
F = 2/3
c = 1
g = 3/2
d' = 9/4
a' = 27/8
e'' = 81/16
b'' = 243/32
이 음들은 4 옥타브에 걸쳐있으므로 2를 곱하거나(1 옥타브 위로), 2 또는 4로 나누어(1 또는 2 옥타브 아래로) 1과 2 사이(한 옥타브 안)에 들어가게 다시 배열하면;
c = 1
d = 9/8 = 1.125
e = 81/64 = 1.266
f = 4/3 = 1.333
g = 3/2 = 1.5
a = 27/16 = 1.688
b = 243/128 = 1.898
c' = 2
이렇게하여 피타고라스 음계가 구성됩니다. 그런데 여기서 c'는 단순히 c를 한 옥타브 올려 2로한 것으로 3/2로 쌓아올려 도달한 것이 아닙니다. 몇 옥타브 위가 됐건 간에 처음 시작한 음정에 도달하려면 3/2비로 12번 올려 2^n(2의 n제곱)과 같아져야 하지만 이것이 정확한 제 음정에 일치하지 않습니다. 즉, (3/2)^12 = 531441/4096 = 129.746으로 c'''''''(7 옥타브 위의 c)인 2^7 = 128과는 오차가 있는데 이를 피타고라스의 코머라고 합니다. (3^12 / 2^19 = 531441 / 524288 = 1.013643265)
이러한 오차를 보정하려는 노력으로 오랜 역사에 걸쳐 여러가지 시도가 있었지만 결국은 평균율로 그 최종 결론이 도달하여 더 이상의 진화가 있을 것 같지는 않습니다. 이에 관하여는 다음에 평균율에서 다시 언급하겠습니다.
[Pentatonic]
한가지 주목할 점은 2:3의 진행이 B에서 중단되었다는 사실입니다. 계속 진행한다면 F#, C#, ...이 나왔을텐데 말입니다. 그러나 당시엔 반음계같은 것이 존재하지 않았다기 보다는 인정되지 않았다고 하는편이 더 맞을지 모르겠습니다.
사실 근접한 두 음은 심한 불협화음을 만듭니다. 혹시 '반음껭판'이라는 것을 아시나요? 친구가 연주할때 옆에서 같은 곡을 반음 틀리게 연주해보세요. 정말 못들어 줍니다. (단, 즉시 도망갈 준비를 갖추어야합니다. 안그러면 아포얀도로 한대 맞을수 있습니다. ^^) 그래서 F와 G사이에 너무 근접한 F#에서 2:3 진행을 중단했는 지도 모릅니다.
5음계도 이러한 음의 근접성에 기인한것이 아닌가 싶습니다. 두개의 음이 반음 간격으로 근접하는 것을 아예 인정하지 않는다면 E에 근접한 F와 C에 근접한 B가 인정받지 못하고 없어지게 됩니다. 반면에 E-F가 근접하기는 하지만 F-G간격은 온음이고 F 없이는 E-G간격이 너무 넓어 F와 B(같은 이유로)를 받아들이면 7음계가 됩니다. 이것이 바로 C-D-E-G-A의 5음계의 근거라고 생각하는 것은 저의 사견일 뿐입니다.
[선법(Mode)]
위의 2:3 진행을 보면 또 한가지 의문이 생깁니다. 7음계는 결국 2:3 비율로 음을 7개 쌓아올려 만든 것인데(F-C-G-D-A-E-B) 왜 하필이면 두번째 음을 기준음 C로 했을까 하는 것입니다. 그러나 고대 그리스에서 이 기준음이 각각 다르게 설정되어 사용되었으니 그것이 선법입니다.
이오니아 선법 (Lydian) : C-D-E-F-G-A-B-c (제2음 기준, 장조에 해당됨)
도리아 선법 (Phrygian) : D-E-F-G-A-B-c-d (제4음 기준)
프리기아 선법 (Doric) : E-F-G-A-B-c-d-e (제6음 기준)
리디아 선법 (Syntonolydian) : F-G-A-B-c-d-e-f (제1음 기준)
믹소리디아 선법 (Ionic) : G-A-B-c-d-e-f-g (제3음 기준)
에올리아 선법 (Eolic) : A-B-c-d-e-f-g-a (제5음 기준, 단조에 해당됨)
(Mixolydian) : B-c-d-e-f-g-a-b (제7음 기준)
그런데 왜 한글과 영문표기가 틀리냐구요? 한글표기는 Glarean의 Dodecachordon(1547년)에서 쓴 교회음악의 선법이름입니다만 이것은 그가 그리스 이름을 좀 헷갈려 잘못 쓴 것이라는데, 음악에서는 이 선법이름이 통용된다하고 괄호안의 영문표기가 실제 그리스 이름이라고 합니다.
Pentatonic에서도 마찬가지로 선법이 존재합니다. 선법이름은 따로 없는 것 같습니다.
C-D-E-G-A-c (예: Scotch air - major)
G-A-c-d-e-g (예: 한국국악?, 중국음악)
D-E-G-A-c-d (예: Gaelic or old bagpipe tune)
A-c-d-e-g-a (예: Scotch air - minor)
E-G-A-c-d-e
[Lyre의 조율과 선법]
지금까지는 숫자로 음계와 선법을 설명하였습니다만 개인적인 생각으로는 리라의 조율로 선법을 설명하는 것이 더 현실적이 아닐까 생각합니다. 리라의 현의 숫자는 계속 변하였지만 그리스 전성기의 대표적인 형태는 Tetratonic(4음계) 두개를 붙인 8현이라 합니다. 그 현을 저음부터 1~4, 5~8번이라 하겠습니다.
우선 1번을 c, 8번을 한 옥타브 위인 c'로 조율하여 이를 으뜸음(Tonic)으로 합니다. 다음에 1번(c)에서 2:3으로 5번을 g에 조율하여 Dominant(딸림)음으로하고, 4번은 8번(c')로부터 3:2로 내려 f로 조율하면 Sub-Dominant(버금딸림)음이 됩니다. 그러면 이제 1(c) - 4(f), 5(g) - 8(c')의 두 Tetratonic음계의 기준이 섰습니다. 남은 것은 그 중간의 2,3현과 6,7현을 어떻게 조율하는가 입니다. (음정을 말할때 왜 1,4,5,8도는 완전음정, 2,3,6,7도는 장/단음정이라 하는지 감이 잡힙니다.) 이때 조율의 기본 원칙은 2:3(완전5도), 그 것이 옥타브를 벗어나면 2:3을 한 옥타브 꺾어내린 3:4(완전4도) 간격으로 조율하는 것입니다. 이 비율은 바이올린족 악기의 조율처럼 귀로들어 쉽게 조율할 수 있습니다.
아마 리디아에서는 5(G) → 2(D) → 6(A) → 3(E) → 7(B)의 순서로 오름차순 조율하여 후일 이오니아 선법으로 알려진 음계가 되고 도리아에서는 4(F) → 7(Bb) → 3(Eb) → 6(Ab) → 2(Db)으로 내림차순 조율하여 프리기아 선법으로, 다른 지방에서는 이 두가지의 중간형태로 조율하여 각기 다른 선법이 된 것이 아닐까 생각합니다. 이를 알기 쉽게 온음 간격은 =로, 반음 간격은 –로 표시하여 다시 정리하면 아래와 같이 됩니다. (프렛b때문에 모든 음을 대문자로 표기합니다.)
조율순서 : 리라현의 음정 (실제 그리스 이름)
C→G→D→A→E→B→F# / C' : C=D=E=F#, G=A=B–C' (Syntonolydian)
C→G→D→A→E→B / F←C' : C=D=E–F, G=A=B–C' (Lydian)
C→G→D→A→E / Bb←F←C' : C=D=E–F, G=A–Bb=C' (Ionic)
C→G→D→A / Eb←Bb←F←C' : C=D–Eb=F, G=A–Bb=C' (Phrygian)
C→G→D / Ab←Eb←Bb←F←C' : C=D–Eb=F, G–Ab=Bb=C' (Eolic)
C→G / Db←Ab←Eb←Bb←F←C' : C–Db=Eb=F, G-Ab=Bb=C' (Doric)
C / Gb←Db←Ab←Eb←Bb←F←C' : C–Db=Eb=F, Gb=Ab=Bb=C' (Mixolydian)
이중 Syntonolydian과 Mixolydian은 Dominant, Sub-Dominant까지 묵살하고 조율하여 나갔기에 그 불협화성으로 인하여 도태되고 나머지 5개의 선법이 주로 쓰였을 것으로 짐작합니다. 결국 5음계의 도,레,미,솔,라 선법이 남게 되었나봅니다.
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